Coeficiente binomial

Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros n ≥ k ≥ 0 e escríbese ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$ Correspóndese co coeficiente do termo x^k na expansión polinómica da potencia binomial (1 + x)ⁿ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (1 + x) é

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}$

e calculamos o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6}$ é o coeficiente do termo x².

Se ordenamos os números ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$ en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}$

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ adoita lerse como "n sobre k". Hai ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$ formas de escoller 2 elementos entre {1, 2, 3, 4}, é dicir, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4 } e {3, 4}.

Agora podemos xeneralizar para que ${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}$ poida usarse para calquera número complexo z e enteiro k ≥ 0, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son C(n, k), Cn
k, e C_n,k, en todas elas o C significa combinacións.

Para os números naturais n e k, o coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ pódese definir como o coeficiente do monomio X^k na expansión de (1 + X)ⁿ. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se k ≤ n ) na fórmula binomial

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}}$

(∗)

(válida para calquera elemento x, y dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de k elementos (ou k-combinacións) dun conxunto de n elementos.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$para todos os números enteiros ${\displaystyle n,k}$ tal que ${\displaystyle 1\leq k<n,}$

con valores límite

${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}$

para todos os números enteiros n ≥ 0.

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}$$onde o numerador da primeira fracción ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente.

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}$onde n! denota o factorial de n . A fórmula presenta unha simetría

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n.}$

(1)

A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo n por un número arbitrario ${\displaystyle \alpha }$ (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:$${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{para }}k\in \mathbb {N} {\text{ e un arbitrario }}\alpha .}$$Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :

${\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}$

(2)

Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X| < 1.

A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},}$

(3)

que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:

O número de fila n contén os números ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ para k = 0, …, n. Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.

Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Consulte Combinacións.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}$ cadeas que conteñen k uns e n ceros.
• Hai ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}}$ cadeas formadas por k uns e n ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.^[1]
• Os números de Catalan son ${\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.}$
• A distribución binomial en estatística é ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

Dado calquera enteiro non negativo k, a expresión ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por k!:

${\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};}$

isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:

${\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.}$

Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entón

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}.}$

(5)

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}={\binom {n}{h+k}}{\binom {h+k}{h}}.}$

Para n constnte, temos a seguinte recorrencia:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.}$

A fórmula

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$

(∗∗)

expresa que os elementos da fila n-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia n-ésima.

Temos dúas fórmulas máis,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}.}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}$.

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a x (dúas veces na segunda) e despois de substituír x = y = 1.

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k, é

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}.}$

(7)

No caso especial n = 2m, k = m, usando (1), a expansión (7) fica como

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}},}$

(8)

onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central. Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j, k e n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n, é

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}.}$

(9)

Cando j = k, a ecuación (9) dá

${\displaystyle \sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}$

Sexa F (n) o n-ésimo número de Fibonacci, entón

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).}$

Para os enteiros s e t tales que ${\displaystyle 0\leq t<s,}$ as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

${\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}$

Para s pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, ^[2]

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)}$

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}$

co caso especial

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}$

para n > 0. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P(x) de grao menor que n, ^[3]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}$

Cando P(x) é de grao menor ou igual a n,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(n-j)=n!a_{n}}$

(10)

onde ${\displaystyle a_{n}}$ é o coeficiente de grao n en P(x).

A identidade de Dixon é

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}$

ou, máis xeralmente,

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}$

onde a, b e c son enteiros non negativos.

Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ impar}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ par}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}$

Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

Se n é primo, entón$${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}$$por cada k con ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1.}$

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n.

Daquela temos

${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod _{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod _{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.}$

Se temos un n fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots }$ é

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.}$

Agora, se facemos que k sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia ${\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,}$ é

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{n \choose k}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}$

A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$

Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.}$

En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide ${\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}$ é igual a p^c, onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial.

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:^[4]

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ divide a }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}}$.

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ é múltiplo de }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}}$.

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro n ≥ 2 é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

${\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}$

son divisibles por n.

Os seguintes límites para ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ cúmprense para todos os valores de n e k tal que 1 ≤ k ≤ n:$${\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}$$Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que$${\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}}.}$$

A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando ${\displaystyle n-k,k}$ tenden ao infinito:$${\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}$$En particular, cando ${\displaystyle n}$ é suficientemente grande, temos

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$.

${\displaystyle {\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}}$.

Se n é grande e k é linear en n, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$. Por exemplo, se ${\displaystyle |n/2-k|=o(n^{2/3})}$ entón$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}$$onde d = n − 2k.^[5]

Se n é grande e k é o(n) (é dicir, se k/n → 0), entón$${\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}$$onde de novo o é a notación o pequena. ^[6]

Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma$${\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}$$que produce as fórmulas asintóticas$${\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}$$cando ${\displaystyle k\to \infty }$.

Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}}$

onde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}$

Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de (x + y)ⁿ, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r})^{n}.}$

O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2}}={n \choose k_{1},n-k_{1}}={n \choose k_{1}}={n \choose k_{2}}.}$

A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente k_i elementos, onde i é o índice do recipiente.

Usando os números de Stirling do primeiro tipo,${\displaystyle s_{k,i}}$, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente ${\displaystyle z_{0}}$ é

${\displaystyle {\begin{aligned}{z \choose k}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{z_{0} \choose j-i}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{j \choose i}{\frac {s_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}}$

Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que ${\displaystyle n}$ é real e ${\displaystyle k}$ é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {{1/2} \choose {k}}={{2k} \choose {k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}$

Isto vese cando se expande ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.}$

A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por

${\displaystyle {\frac {1}{z \choose n}}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{n \choose i}{\frac {n-i}{z-i}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{z+n \choose n}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n \choose i}{\frac {i}{z+i}}.}$

A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}z^{n}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots }$

A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfán a ecuación diferencial (1 + z) f'(z) = α f(z).

O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\alpha +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{n+\alpha \choose n}z^{n}}$

onde se aplica a identidade

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}}$.

Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos;^[7] o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con substitución) de k elementos de un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}$.

O valor dos coeficientes multiconxunto é $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$

Para calquera n,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right).\end{aligned}}}$

En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos.

Por exemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-4}{7}}&={\frac {-10\cdot -9\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -5\cdot -4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=(-1)^{7}\;{\frac {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=\left(\!\!{\binom {-7}{7}}\!\!\right)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)={\binom {-1}{7}}{\binom {10}{7}}.\end{aligned}}}$

Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (y+1,x-y+1)}}.}$

Esta definición herda as seguintes propiedades da ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle {x \choose y}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{-y-1 \choose -x-1}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{y-x-1 \choose y};}$

e tamén,

${\displaystyle {x \choose y}\cdot {y \choose x}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.}$

A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en (Fowler 1996).

O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como coeficiente binomial gaussiano (ligazón en inglés).

• Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66521-6. 
• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-333-7. 
• Bryant, Victor (1993). Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3. 
• Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory. Springer. ISBN 978-3-540-29952-3. Arquivado dende o orixinal o 2007-11-18. Consultado o 2017-08-28. 
• Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209. 
• Goetgheluck, P. (1987). "Computing Binomial Coefficients". American Mathematical Monthly 94 (4): 360–365. JSTOR 2323099. doi:10.2307/2323099. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second ed.). Addison-Wesley. pp. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. 
• Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5. 
• Grinshpan, A. Z. (2010). Weighted inequalities and negative binomials. Advances in Applied Mathematics 45. pp. 564–606. doi:10.1016/j.aam.2010.04.004. 
• Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. p. 25. ISBN 0-89871-420-6. 
• Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 52–74. ISBN 0-201-89683-4. 
• Singmaster, David (1974). "Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients". Journal of the London Mathematical Society 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555. 
• Shilov, G. E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7. 
• Uspensky, James (1937). Introduction to Mathematical Probability. McGraw-Hill. 

• Transformación binomial
• Número de Delannoy
• Número euleriano
• Función hiperxeométrica
• Número de Motzkin
• Número de Narayana

• "Binomial coefficients". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Andrew Granville (1997). "Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers". CMS Conf. Proc 20: 151–162.