Powerful p-群

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在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究(Khukhro 1998)，受限制的Burnside問題的解答(Vaughan-Lee 1993)，以coclass猜想作出的有限p-群分類(Leedham-Green & McKay 2002)，及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon et al. 1991)。

有限p-群${\displaystyle G}$稱為powerful，於${\displaystyle p}$為奇數時，若交換子子群${\displaystyle [G,G]}$包含在子群${\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle }$內，而於p=2時若${\displaystyle [G,G]}$包含在子群${\displaystyle G^{4}}$內。

powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似，所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。

powerful p-群也可用於研究pro-p群，因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群（在p-進數上為流形的群）的特性：一個有限生成pro-p群是p-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有：若${\displaystyle G}$是powerful p-群，則：

• ${\displaystyle G}$的Frattini子群${\displaystyle \Phi (G)}$有性質${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}}$
• ${\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}}$對所有${\displaystyle k\geq 1.}$。就是以${\displaystyle p^{k}}$次冪生成的群，正是${\displaystyle p^{k}}$次冪的集合。
• 對所有${\displaystyle k\geq 1}$，若${\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle }$，則${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle }$。
• 對所有${\displaystyle k\geq 1}$，${\displaystyle G}$的下中心序列的第k位有性質${\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}}$。
• powerful p-群的每個商群都powerful。
• ${\displaystyle G}$的Prüfer秩等於${\displaystyle G}$的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若${\displaystyle G}$是powerful p-群，則

• ${\displaystyle G^{p^{k}}}$是powerful。
• ${\displaystyle G}$的子群不一定是powerful。

• Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
• Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR1152800 
• Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR1615819 
• Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951 
• Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR0873681 
• Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR1364414