2-3树

2-3樹
类型	樹
发明时间	1970
发明者	約翰·霍普克洛夫特
用大O符号表示的时间复杂度 算法 平均 最差 搜索 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$ 插入 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$ 删除 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$ 用大O符号表示的空间复杂度 空间 ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$

计算机科学中，2–3树（英語：2–3 tree）是一种树型数据结构，由约翰·霍普克洛夫特于1970年发明^[1]。

2–3樹中的内部节点可以有2个子節點和1个数据元素、或有3个子節點和2个数据元素，叶子节点有1至2个数据元素。

• 
  2节点
• 
  3节点

2–3树和AA树是等距同构的，意味着它们是同一种数据结构。换句话说，对于每个2–3树，都至少存在1種AA树和它的元素排列是相同的。2–3树是平衡树，意味着右边，左边，中间的子树的元素数量都是相同或接近的。

如果一个内部节点拥有一个数据元素、两个子节点，则此节点为2节点。

如果一个内部节点拥有两个数据元素、三个子节点，则此节点为3节点。

当且仅当以下叙述中有一条成立时，T为2–3树：

• T为空。即T不包含任何节点。
• T为拥有数据元素a的2节点。若T的左子節點为L、右子節點为R，则：
  • L和R是等高的2–3树；
  • a大于L中的所有数据元素；同时
  • a小于等于R中的所有数据元素。
• T为拥有数据元素a和b的3节点，其中a < b。若T的左子節點为L、中子節點为M、右子節點为R，则：
  • L、M、和R是等高的2–3树；
  • a大于L中的所有数据元素，并且小于等于M中的所有数据元素；同时
  • b大于M中的所有数据元素，并且小于等于R中的所有数据元素。

2–3树的查找元素操作与二叉搜索树的查找类似。因为节点中的数据元素都是有序的，所以查找函数可以据此进入正确的子树进行查找，最终找到正确的节点。

进行插入操作时，可以先通过查找操作确定合适的位置，然后将数据插入对应节点。如果插入后的节点变成4节点（包含三个数据元素），则需将该节点拆分为两个2节点，中间的数据元素进入父节点。这样一来，该父节点也可能也会因此变成4节点，则该父节点也会拆分为两个2节点，中间的数据元素进入该父节点的父节点，以此类推，直到修改后的父节点不需要分裂，或者被拆分的是根节点，此时中间数据元素就会单独形成2节点，成为新的根节点。

從非葉子節點刪除一個鍵，可以先用它的直接前驅或後繼來替換，然後再到葉子節點中刪除這個前驅或後繼。 從葉子節點刪除一個鍵就比較簡單，若該葉子是 3-節點，直接刪掉即可。否則，刪除後可能會產生一個暫時的 1-節點，而這個 1-節點可能需要透過調整樹來「吸收」。這個調整過程可能會一路向上傳遞，類似插入操作中可能產生暫時的 4-節點再被分裂的情況。 另一種方法是採用一種「自上而下與自下而上結合」的演算法：在往下搜尋的過程中，暫時建立 4-節點，等到返回往上時再將這些暫時節點銷毀

由於 2–3 樹在結構上與紅黑樹相似，因此針對紅黑樹設計的平行演算法同樣也可以套用在 2–3 樹上

• 2–3 Trees Complete Description
• 2–3 Tree Java Applet
• 2–3 Tree In-depth description（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 2–3 Tree in F#（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 2–3 Tree in Python（页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. ^ Cormen, Thomas. Introduction to Algorithms. London: The MIT Press. 2009: 504. ISBN 978-0262033848.