Pauliho matice

Pauliho matice tvoria množinu troch komplexných hermitovských a unitárnych matíc o dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch. Zvyknú sa označovať gréckym písmenom 'sigma' (σ). V súvislosti s izospinom je obvyklé používať grécke písmeno 'tau' (τ). Píšeme ich v nasledujúcom tvare:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Platia nasledujúce dôležité vzťahy:

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

pričom symbolom I označujeme jednotkovú maticu o dvoch stĺpcoch a dvoch riadkoch.

Determinanty a stopy spĺňajú tieto vzťahy:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{for}}\ i=1,2,3.\end{matrix}}}$

Z hora uvedených vlastností priamo plynie, že vlastné hodnoty každej a jednej pauliho matice σ_i sú ±1.

Pauliho matice splňujú nasledujúce komutačné relácie:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}\ ]=2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}}$

Taktiež vyhovujú antikomutačným reláciam:

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}\cdot I}$