Conjunto errante

Nos ramos da matemática e da teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de conjunto errante formaliza a ideia de movimento em tais sistemas. Quando um sistema dinâmico possui um conjunto errante de medida positiva, ele é dito dissipativo. Este comportamento é distinto do que ocorre num sistema conservativo, onde vale o teorema da recorrência de Poincaré. Intuitivamente, a conexão entre conjuntos errantes e dissipação é facilmente entendida: se uma porção do sistema "erra" de acordo com a evolução temporal do sistema, a partir de um determinado tempo ele nunca retorna à sua posição original.

A definição de ponto errante para sistemas dinâmicos discretos é a seguinte: Seja ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ uma aplicação contínua, onde ${\displaystyle X}$ é um espaço topológico. Um ponto ${\displaystyle p\in X}$ é dito errante com respeito a ${\displaystyle f}$, ou simplesmente errante, caso existam ${\displaystyle U}$ vizinhança de ${\displaystyle p}$ em ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tais que ${\displaystyle U\cap f^{n}(U)=\emptyset }$, para todo ${\displaystyle n\geq N}$. O conjunto de todos os pontos errantes de ${\displaystyle X}$ é chamado de conjunto errante de ${\displaystyle f}$.

De forma análoga, seja ${\displaystyle \phi :M\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ um fluxo contínuo sobre uma variedade diferenciável ${\displaystyle M}$. Dizemos que um ponto ${\displaystyle p\in M}$ é errante caso existam ${\displaystyle U}$ vizinhança de ${\displaystyle p}$ em ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ tais que para todo ${\displaystyle t\geq T}$, ${\displaystyle \phi (U\times \{t\})\cap U=\emptyset }$.

• O conjunto errante de ${\displaystyle f}$ é um subconjunto aberto de ${\displaystyle f}$.
• O complementar do conjunto errante de ${\displaystyle f}$ é chamado de conjunto não-errante de ${\displaystyle f}$, e é denotado por ${\displaystyle \Omega (f)}$.
• Todo ponto recorrente é não-errante.
• É possível mostrar que o conjunto não-errante de um difeomorfismo ou um fluxo sobre uma variedade compacta ${\displaystyle M}$ é sempre não-vazio.
• Se ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ é um difeomorfismo de Anosov sobre uma variedade compacta, então os pontos periódicos de ${\displaystyle f}$ são densos em ${\displaystyle \Omega (f)}$.