Triangulær matrise

Ei triangulær matrise i lineær algebra er ein særskild type kvadratisk matrise. Ei kvadratisk matrise er anten øvre eller nedre triangulær. Matrisa vert kalla nedre triangulær om alle element over diagonalen er 0. Om alle element under diagonalen er 0 vert matrisa kalla øvre triangulær.

Ettersom matriselikningar med triangulære matriser er enklare å løysa så er dei særs sentrale i numerisk lineær algebra. Til dømes vil ei LU-faktorisering splitta opp ei matrise i ei nedre og ei øvre triangulær matrise. Ei matriselikning på denne forma kan løysast ved høvesvis forlengssubstitusjon og baklengssubstitusjon.

Løysinga av eit likningssystem på forma Ax=b medan A er ei nedre triangulær matrise kan løysast ved framlengssubstitusjon, definert som:

${\displaystyle x_{i}={\frac {b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{i,j}x_{j}}{a_{i,i}}}}$

For ${\displaystyle i=1,..,n}$.

Løysinga av eit likningssystem på forma Ax=b der A er ei øvre triangulær matrise kan løysast ved baklengssubstitusjon, definert som:

${\displaystyle x_{i}={\frac {b_{i}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{i,j}x_{j}}{a_{i,i}}}}$

For ${\displaystyle i=n,n-1,...,1}$.