Ein eigenfunksjon er i matematikk ein lineær operator A, definert for eit funksjonsrom, som gjer at funksjonen f, som er ulik null i det same funksjonsrommet, kjem ut akkurat slik han var før ein utførte operasjonen. Unntaket er for ein multiplikativ skaleringsfaktor. Meir presist kan ein uttrykke dette som:
for ein skalar, λ, den tilhøyrande eigenverdien. Løysinga på det differensielle eigenverdiproblemet er òg avhengig av grensevilkåra som f {\displaystyle f} krev. I kvart tilfelle er det berre visse eigenverdiar λ = λ n {\displaystyle \lambda =\lambda _{n}} ( n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle n=1,2,3,...} ) som tillet ei samsvarande løysing for f = f n {\displaystyle f=f_{n}} (med kvar f n {\displaystyle f_{n}} tilhøyrande eigenverdien λ n {\displaystyle \lambda _{n}} ) i kombinasjon med grensevilkåra. Eksistensen til eigenfunksjonane er ofte den mest innsiktsfulle måten å analysere A {\displaystyle A} på.
Til dømes er f k ( x ) = e k x {\displaystyle f_{k}(x)=e^{kx}} ein eigenfunksjon for differensialoperatoren:
for alle verdiar av k {\displaystyle k} med ein samsvarande eigenverdi λ = k 2 − k {\displaystyle \lambda =k^{2}-k} . Om grensevilkåra gjeld for dette systemet (t.d., f = 0 {\displaystyle f=0} ved to fysiske stader i rommet), så kan berre visse verdiar av k = k n {\displaystyle k=k_{n}} tilfredsstille grensevilkåra, og ein får samsvarande diskrete eigenverdiar λ n = k n 2 − k n {\displaystyle \lambda _{n}=k_{n}^{2}-k_{n}} .
For signal og system er eigenfunksjonen til eit system det signalet f ( t ) {\displaystyle f(t)} som ein puttar inn i systemet og som gjev svaret y ( t ) = λ f ( t ) {\displaystyle y(t)=\lambda f(t)} med den komplekse konstanten λ {\displaystyle \lambda } .
Eigenfunksjonar spelar ei viktig rolle i mange greiner innan fysikken, til dømes kvantemekanikk.
