Den tomme mengda

Den tomme mengda er innanfor matematikk ei mengd utan element.

Den tomme mengda vert skriven «{}», «${\displaystyle \varnothing }$» eller «${\displaystyle \emptyset }$». Dei to siste symbola vart innført av Bourbaki-gruppa i 1939, inspirert av bokstaven Ø.

I samsvar med eksistensialitetsaksiomet er to mengder like dersom dei inneheld dei same elementa – det finst med andre ord berre éi mengd som ikkje inneheld nokon element. Denne blir difor kalla den tomme mengda, snarare enn ei tom mengd.

For ei kvar mengd A gjeld følgjande:

• Den tomme mengda er ei delmengd av A:

  ∀A: ∅ ⊆ A

• Unionen mellom A og den tomme mengda er A:

  ∀A: A ∪ ∅ = A

• Snittet mellom A og den tomme mengda er den tomme mengda:

  ∀A: A ∩ ∅ = ∅

• Det kartesiske produktet av A og den tomme mengda er tomt:

  ∀A: A × ∅ = ∅

Den tomme mengda har følgjande eigenskapar:

• Den einaste delmengda til den tomme mengda er den tomme mengda sjølv:

  ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Potensmengda av den tomme mengda er ei mengd som berre inneheld den tomme mengda:

  2^∅ = {∅}

• Mengda element (kardinaliteten til mengda) er null:

  |∅|= 0