볼차노-바이어슈트라스 정리

${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$가 점렬 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 모든 코시 점렬은 수렴 부분 점렬을 가지므로, 수렴한다. 또한, 모든 점렬은 수렴 부분 점렬을 가지며, 이는 물론 코시 부분 점렬이다.

${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$가 점렬 완비 균등 공간이자 점렬 완전 유계 공간이라고 하자. 그렇다면, 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 가지며, 이 코시 부분 점렬은 수렴한다. 즉, 모든 점렬은 수렴 부분 점렬을 가진다.

실수에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리로부터 유도할 수 있다.

유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 속 임의의 유계 점렬

${\displaystyle ((x_{k,1},x_{k,2},\ldots ,x_{k,n}))_{k\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

의 수렴 부분 점렬을 찾으면 충분하다. ${\displaystyle (x_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }}$은 유계 실수 수열이므로, 어떤 실수 ${\displaystyle x_{1}\in \mathbb {R} }$로 수렴하는 부분 수열 ${\displaystyle (x_{k_{1}(j),1})_{j\in \mathbb {N} }}$이 존재한다 (${\displaystyle k_{1}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$은 순증가 함수). 마찬가지로, ${\displaystyle (x_{k_{1}(j),2})_{j\in \mathbb {N} }}$은 유계 실수 수열이므로, 어떤 실수 ${\displaystyle x_{2}\in \mathbb {R} }$로 수렴하는 부분 수열 ${\displaystyle (x_{k_{2}(j),2})_{j\in \mathbb {N} }}$이 존재한다 (${\displaystyle k_{1}\colon \mathbb {N} \to k_{1}(\mathbb {N} )}$은 순증가 함수). 이 경우, ${\displaystyle ((x_{k_{2}(j),1},x_{k_{2}(j),2}))_{j\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$로 수렴한다. 이를 반복하면, 결국 다음 조건을 만족시키는 일련의 순증가 함수

${\displaystyle k_{1}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle k_{2}\colon \mathbb {N} \to k_{1}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle k_{n}\colon \mathbb {N} \to k_{n-1}(\mathbb {N} )}$

와 일련의 실수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$를 얻는다.

• 각 ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$에 대하여, ${\displaystyle ((x_{k_{i}(j),1},\dots ,x_{k_{i}(j),i}))_{j\in \mathbb {N} }}$는 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})}$로 수렴한다.

특히, ${\displaystyle (x_{k_{n}(j),1},\dots ,x_{k_{n}(j),n})_{j\in \mathbb {N} }}$은 ${\displaystyle ((x_{k,1},x_{k,2},\ldots ,x_{k,n}))_{k\in \mathbb {N} }}$의 부분 점렬이며, ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$으로 수렴한다.

점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 집합: 만약 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$가 유계 집합이 아니라면,

${\displaystyle x_{0}\in S}$

${\displaystyle x_{n+1}\in S\setminus B(x_{0},n)\setminus B(x_{0},d(x_{n},x_{0}))}$

인 ${\displaystyle S}$ 속의 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 존재하며, 이는 수렴 부분 점렬을 갖지 않으므로, ${\displaystyle S}$는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

점렬 콤팩트 공간 ⇒ 닫힌집합: 만약 ${\displaystyle S}$가 점렬 콤팩트 공간이며, ${\displaystyle S}$ 속의 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 어떤 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$으로 수렴한다면, ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 어떤 ${\displaystyle x'\in S}$로 수렴하는 부분 점렬을 가지며, 자명하게 ${\displaystyle x=x'\in S}$이다. 즉, ${\displaystyle S}$는 닫힌집합이다.

단조 부분 수열 정리에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 실수 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle P=\{n\in \mathbb {N} \colon \forall m>n\colon x_{n}>x_{m}\}}$

라고 하자. 즉, 다음에 오는 모든 항보다 큰의 항의 지표의 집합이다. 만약 ${\displaystyle P}$가 무한 집합이며,

${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }$

가 ${\displaystyle P}$의 원소라면, ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$은 단조 부분 수열이다. 만약 ${\displaystyle P}$가 유한 집합이라면,

${\displaystyle n_{0}>\max P}$

인 자연수 ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$을 고르자 (${\displaystyle P=\varnothing }$라면 ${\displaystyle \max P=-1}$으로 놓는다). 임의의 ${\displaystyle n\geq n_{0}}$에 대하여 ${\displaystyle n\not \in P}$이므로,

${\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots }$

인

${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }$

가 존재하며, ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$은 단조 부분 수열이다.

실수에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 단조 부분 수열 정리와 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 임의의 유계 실수 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 주어졌을 때, 이는 단조 부분 수열 ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$을 가지며, 이는 유계 수열이다. 단조 수렴 정리에 따라, 이는 수렴한다.