អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​៖

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)}$

ទីនេះ

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

គឺជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង ${\displaystyle \ \Gamma (z)}$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ ${\displaystyle \ \psi ^{(1)}(z)}$ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា​អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

លោការីតនៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ដំបូងមួយចំនួនក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

${\displaystyle \ \ln \Gamma (z)}$	${\displaystyle \ \psi ^{(0)}(z)}$	${\displaystyle \ \psi ^{(1)}(z)}$	${\displaystyle \ \psi ^{(2)}(z)}$	${\displaystyle \ \psi ^{(3)}(z)}$	${\displaystyle \ \psi ^{(4)}(z)}$

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង m > 0 ។ ចំពោះ m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}}$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

ចំពោះ ${\displaystyle m>1}$ និងចំពោះ ${\displaystyle m=0}$ រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

${\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​មានតំណាងស៊េរី

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ ${\displaystyle \ m>0}$ និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច ${\displaystyle \ z}$ មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន​។ តំណាង​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេសរសេរ​បង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ​អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)}$

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជា​អនុគមន៍ទូទៅ​នៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ចំពោះ​​លំដាប់​មិនមែនជាចំនួនគត់ ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} ^{-}}$

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\,}$

ដែលទាល់ចំពោះ ${\displaystyle \ |z|<1}$ ។ ទីនេះ ${\displaystyle \zeta (n)\,}$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)