បារីសង់

ក្នុងធរណីមាត្រ បារីសង់ (barycenter, centroid) នៃវត្ថុ${\displaystyle X}$ ក្នុងលំហដែលមានវិមាត្រ${\displaystyle n}$ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃគ្រប់ប្លង់ដែលបែងចែកវត្ថុ${\displaystyle X}$ ជាពីរផ្នែកដែលមានម៉ូម៉ង់ស្មើគ្នាចំពោះប្លង់។ ជាធម្មតា វាត្រូវបានគេហៅថា មធ្យមនៃគ្រប់ចំណុចនៃ${\displaystyle X}$ ។

បារីសង់នៃសំណុំចំណុចអាចត្រូវគេគណនា តាមមធ្យមនព្វន្ឋ (arithmetic mean) នៃកូអ័រដោណេ (coordinate) របស់ចំណុច។

បារីសង់របស់ត្រីកោណ (triangle) មួយ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យាន (median) ទាំង៣របស់ត្រីកោណនោះ។

បារីសង់ចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប 2:1​ មានន័យថាវាស្ថិតនៅ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\,}$នៃកម្ពស់រវាងជ្រុងនីមួយៗ និង ចំណុចឈម (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប)។

បើត្រីកោណបង្កើតឡើងដោយរបាយស្មើសាច់ នោះបារីសង់ជាទីប្រជុំទម្ងន់​នៃត្រីកោណ។ កូអ័រដោណេដេកាត (Cartesian coordinate system) របស់វា គឺជាមធ្យមនៃកូអ័រដោណេរបស់កំពូលទាំង៣ ។ ដូចនេះ បើកំពូលទាំង៣មានកូអ័រដោណេ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ និង ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ នោះបារីសង់មានកូអ័រដោណេ :${\displaystyle {\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})}$

បារីសង់របស់តេត្រាអែត (tetrahedron, triangular pyramid) គឺជាប្រសព្វនៃគ្រប់អង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលនីមួយៗ ទៅនឹងបារីសង់របស់មុខឈម។ អង្កត់បន្ទាត់ទាំងនេះចែកបារីសង់តាមផលធៀប 3:1 ។

តាងមេដ្យាន AD BE និង CF នៃត្រីកោណABC ប្រសព្វគ្នាត្រង់ G ដែលជាបារីសង់នៃត្រីកោណ ហើយតាងបន្ទាត់ត្រង់ AD មានពន្លាតដល់ចំណុច O ដែល

${\displaystyle AG=GO\,}$ ។

នោះ ត្រីកោណ AGE និង AOC ជាត្រីកោណដូចគ្នា (AO ស្មើ២ដង AG ហើយ AC​ ស្មើ២ដង AE) ដូចនេះ OC ស្របនឹង GE ។ ដោយ GE ជាពន្លាតនៃ BG ដូចនេះ OC ស្របនឹង BG ។ សម្រាយដូចគ្នា គេបាន OB ស្របនឹង CG ។

GBOC ជាប្រលេឡូក្រាម (parallelogram) ។ អង្កត់ទ្រូងរបស់ប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច D ។ គេបាន GD = DO

${\displaystyle GO=GD+DO=2GD\,}$

ដូចនេះ ${\displaystyle AG=GO=2GD\,}$

ឬ ${\displaystyle AG:GD=2:1\,}$

ទាំងនេះពិតចំពោះគ្រប់មេដ្យាន។

បារីសង់នៃពហុកោណបិទជិតដែលកំណត់ដោយ N កំពូល ( x_i , y_i ) អាចត្រូវបានគេគណនាដូចខាងក្រោម ។ កំពូល ( x_N , y_N ) ដូចនឹង ( x₀ , y₀ ) ។

ផ្ទៃរបស់គឺ

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

នោះ បារីសង់របស់ពហុកោណគឺ

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

គេឱ្យ សំណុំចំណុច ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ។ បារីសង់${\displaystyle C}$របស់វា គឺកំណត់ដោយ

${\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}}$ ។

បារីសង់នៃផ្ទៃ គឺស្រដៀងនឹងទីប្រជុំនៃម៉ាស (center of mass) នៃអង្គធាតុ។ បើអង្គធាតុជាអូម៉ូសែន (homogeneous) ទីប្រជុំទម្ងន់​នៃម៉ាសគឺជាបារីសង់។

ចំពោះរូបធាតុ២ គេបានសមីការ

${\displaystyle {\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}}$ ជាចម្ងាយពីអ័ក្សកូអ័រដោណេទៅបារីសង់នៃផ្ទៃអង្គធាតុ។ ${\displaystyle A}$ ជាផ្ទៃនៃផ្នែករបស់អង្គធាតុ។ អនុគមន៍ទូទៅសម្រាប់គណនាបារីសង់

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

ចម្ងាយពីអ័ក្ស (y'oy) ទៅបារីសង់ គឺ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ។ ចម្ងាយពីអ័ក្ស (x'ox) ទៅបារីសង់ គឺ ${\displaystyle {\overline {y}}}$ ។ កូអ័រដោណេរបស់បារីសង់ ${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}$ ។

អាប់ស៊ីស (abscissa) ​របស់បារីសង់នៃប្លង់ឱ្យដោយអាំងតេក្រាល

${\displaystyle C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}}$

បារីសង់របស់កោណ ឬ ពីរ៉ាមីតគឺស្ថិតនៅលើអង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលទៅនឹងបាតនៃបារីសង់​ ហើយចែកអង្កត់នោះជាផលធៀប ៣:១ ។