ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃត្រីកោណ។

ចំពោះ ${\displaystyle \vartriangle ABC\,}$ ដែលមាន ${\displaystyle a=BC,\,b=CA,\,c=AB,\,\alpha =\angle CAB,\,\beta =\angle ABC,\,\gamma =\angle BCA\,}$ នោះគេបាន

• ${\displaystyle \color {blue}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$
• ${\displaystyle \color {blue}b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta \,}$
• ${\displaystyle \color {blue}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ \,}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ca}}\ \,}$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\ \,}$

យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង ${\displaystyle \theta \,}$ ជារង្វាស់មុំឈមនៃជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ។ យើងអាចដាក់ត្រីកោណក្នុងបប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ដែល ${\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\,\,}$ និង ${\displaystyle \,\ C(0,0)\,}$ ។ តាមរូបមន្តចំងាយរវាងចំនុច A និង B យើងបាន

${\displaystyle {\begin{aligned}c&{}={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}\\\Rightarrow c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}\\&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \end{aligned}}}$

គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,}$

(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)

ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha \,\,\,(1)}$

ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន

${\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma \,}$

${\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma \,}$

បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}$

${\displaystyle \Rightarrow ac\cos \beta +bc\cos \alpha =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,\,\,(2)}$

ដោយជំនួសតំលៃនៃ ${\displaystyle (2)\,}$ ទៅក្នុងសមីការ ${\displaystyle (1)\,}$ ខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីតបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន

${\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2}\,}$

និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន

${\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}\,}$

ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}\,}$

ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd\,\,\,(3)}$

ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់

${\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma \,}$

ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ ${\displaystyle (3)\,\,}$ យើងបានទ្រឹស្តីកូស៊ីនុស

${\displaystyle \color {blue}c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីដបានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរដែលបង្កើត​ដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។

សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល៖ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}(\cos ^{2}\gamma )+a^{2}(\sin ^{2}\gamma )\\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$

(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \,}$ )

ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

${\displaystyle c^{2}\,}$	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}}$
	${\displaystyle =\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}}$
	${\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

ពេល a = b មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2a^{2}=2ab\,}$។ គេបាន

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos \gamma \,}$

${\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma )\,}$

${\displaystyle \Rightarrow 1-\cos \gamma ={\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\,}$

${\displaystyle \Rightarrow \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\;}$

តាង a,b,c ជា​ប្រវែង​ជ្រុង និង A,B,C ជា​មុំ​នៃ​ត្រីកោណ​ ABC តាង S ជា​ក្រឡា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC។ ចូរ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C=\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}}$

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin A}$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&{}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\&{}=b^{2}+c^{2}-4({\frac {1}{2}})bc\sin A\cdot {\frac {\cos A}{\sin A}}\\&{}=b^{2}+c^{2}-4S\cot A\\\end{aligned}}}$

ដូចគ្នាដែរ

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-4S\cot B\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot C\,}$

${\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}\cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}}\\\cot B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S}}\\\cot C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S}}\\\end{cases}}}$

ដូច្នេះយើងបាន

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}}+{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S}}+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S}}=\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}}$

• ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ទ្រឹស្តីបទតង់សង់