Minore (algebra lineare)

In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice ${\displaystyle A}$ è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da ${\displaystyle A}$ eliminando alcune righe e/o colonne di ${\displaystyle A}$.

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Una sottomatrice di una matrice ${\displaystyle A_{n\times m}}$, con ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ interi non negativi, è una matrice ${\displaystyle B_{r\times s}}$, con ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ interi tali che ${\displaystyle 0\leq r\leq n}$ e ${\displaystyle 0\leq s\leq m}$, ottenuta da ${\displaystyle A}$ rimuovendo ${\displaystyle n-r}$ righe e ${\displaystyle m-s}$ colonne.

Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con ${\displaystyle r=s}$). Il numero ${\displaystyle r}$ è definito ordine del minore.

Un minore complementare è un minore di ${\displaystyle A}$ ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da ${\displaystyle A}$. Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici ${\displaystyle A}$ quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento ${\displaystyle a_{ij}}$ di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ si ottiene togliendo l'${\displaystyle i}$-esima riga e la ${\displaystyle j}$-esima colonna e si indica con ${\displaystyle A(i,j)}$ o con ${\displaystyle A_{ij}}$. Se il minore complementare ${\displaystyle A(i,j)}$ viene considerato con il segno ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ esso è detto complemento algebrico o cofattore di ${\displaystyle a_{ij}}$.

Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice ${\displaystyle m\times n}$ e siano ${\displaystyle I}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle \{1,\dots ,m\}}$ con ${\displaystyle k}$ elementi e ${\displaystyle J}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ con ${\displaystyle k}$ elementi. Indicando con ${\displaystyle [A]_{I,J}}$ il minore ${\displaystyle k\times k}$ di ${\displaystyle A}$ che corrisponde alle righe con indice in ${\displaystyle I}$ e colonne con indice in ${\displaystyle J}$:

• Se ${\displaystyle I=J}$ allora ${\displaystyle [A]_{I,J}}$ è detto minore principale (o dominante).
• Se si prendono ordinatamente le prime ${\displaystyle r}$ righe e ${\displaystyle r}$ colonne allora il minore principale è detto minore principale di guida (o minore principale di testa o minore nord-ovest). Un minore principale di guida, quindi, è un minore ottenuto togliendo le ultime ${\displaystyle n-r}$ righe e colonne. Per una matrice quadrata ${\displaystyle n\times n}$ vi sono ${\displaystyle n}$ minori principali di guida.
• Per una matrice hermitiana i minori principali di guida possono essere usati per verificare se la matrice è una matrice definita positiva; si veda ad esempio il criterio di Sylvester.

Il rango di una matrice ${\displaystyle A_{m\times n}}$ è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di ${\displaystyle A_{m\times n}}$. Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici con elevato numero di righe e/o colonne.

La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.

Data una matrice ad elementi reali ${\displaystyle m\times n}$ e rango ${\displaystyle r}$, allora esiste almeno un minore di ordine ${\displaystyle r}$ non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.

Si consideri la matrice ${\displaystyle A_{3\times 4}}$:

${\displaystyle A_{3\times 4}={\begin{bmatrix}2&-1&5&9\\-12&3&2&0\\1&-1&9&8\end{bmatrix}}}$

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

${\displaystyle B_{1\times 1}={\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2\times 3}={\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D_{3\times 2}={\begin{bmatrix}-1&9\\3&0\\-1&8\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle E_{3\times 1}={\begin{bmatrix}5\\2\\9\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle F_{1\times 4}={\begin{bmatrix}-12&3&2&0\end{bmatrix}}}$

I minori di ordine ${\displaystyle r=3}$ sono:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2&-1&5\\-12&3&2\\1&-1&9\end{bmatrix}}=-7\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&-1&9\\-12&3&0\\1&-1&8\end{bmatrix}}=33\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5&9\\-12&2&0\\1&9&8\end{bmatrix}}=-478\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1&5&9\\3&2&0\\-1&9&8\end{bmatrix}}=125}$

Alcuni dei minori di ordine ${\displaystyle r=2}$ sono:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2&-1\\-12&3\end{bmatrix}}=-6\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}2&5\\-12&2\end{bmatrix}}=64\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12&3\\1&-1\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3&0\\-1&8\end{bmatrix}}=24\dots }$

Infine i minori di ordine ${\displaystyle r=1}$:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}=2\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}}=-1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=5\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}9\end{bmatrix}}=9\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}-12\end{bmatrix}}=-12\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}=0\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1\quad ,\quad \det {\begin{bmatrix}8\end{bmatrix}}=8}$

• (EN) Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0
• (EN) Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
• (EN) Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p. 491

• Determinante
• Criterio di Jacobi
• Criterio di Sylvester
• Equazione lineare
• Matrice dei cofattori
• Rango (matematica)

• (EN) Eric W. Weisstein, Minor, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Minore, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• (EN) PlanetMath entry of Cofactors, su planetmath.org. URL consultato il 28 gennaio 2014 (archiviato dall'url originale l'8 aprile 2012).

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