Codice di Barker

Un codice di Barker (in lingua inglese Barker Code), detto anche sequenza di Barker, è una sequenza finita di valori interi ±1 la cui funzione di autocorrelazione al di fuori del valore di picco è la più piccola possibile.^[1] Questa codifica trova applicazione nel campo dei radar, della telemetria e delle reti wireless ed è stata definita nel 1953 da Ronald Hugh Barker, da cui prende il nome.^[2]

Definizione

Rappresentazione grafica di un codice di Barker $N$ =7

Funzione di autocorrelazione di un codice di Barker $N$ =7

Un codice di Barker è una sequenza finita di $N$ valori +1 e -1, definita formalmente come:

a_{j}\in \{-1,+1\}

per

j=1,...,N

caratterizzata da una funzione di autocorrelazione tale per cui i coefficienti di autocorrelazione al di fuori del picco

c_{v}=\sum _{j=1}^{N-v}a_{j}a_{j+v}

siano i più piccoli possibili, soddisfacendo alla relazione:

|c_{v}|=|\sum _{j=1}^{N-v}a_{j}a_{j+v}|\leq 1\,

per tutti gli elementi $1\leq v<N$ .^[2]

In base a questa definizione, la funzione di autocorrelazione presenta il suo picco in corrispondenza del valore $N$ .

Sono note solo nove sequenze di Barker^[3] e la lunghezza massima individuata è $N=13$ .^[1] È stato dimostrato che non esistono altre sequenze con un valore di lunghezza $N$ dispari,^[4] né sequenze con valore di lunghezza $N$ pari inferiore a 10²².^[5]

Nel suo documento del 1953, Barker analizzò anche le sequenze che obbediscono alla condizione più stringente:

c_{v}\in \{-1,0\}

Di queste ultime, sono note solo quattro, evidenziate in grassetto nella tabella seguente che riporta tutte le sequenze conosciute.^[6]

Codici di Barker noti
Lunghezza	Sequenza
2	+1 −1	+1 +1
3	+1 +1 −1
4	+1 +1 −1 +1	+1 +1 +1 −1
5	+1 +1 +1 −1 +1
7	+1 +1 +1 −1 −1 +1 −1
11	+1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1
13	+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1

Applicazioni

Impiego del codice di Barker nella modulazione BPSK

I codici di Barker con lunghezza $N$ uguale a 11 e a 13 trovano impiego nella modulazione Direct Sequence Spread Spectrum (DSSS) e nei sistemi radar a compressione dell'impulso proprio per le loro caratteristiche di bassa auto-correlazione al di fuori del picco. Nel caso dei radar, grazie a questa tecnica la dimensione dei lobi laterali viene ridotta a un $N$ -simo rispetto al segnale di picco,^[7] con un aumento delle prestazioni soprattutto in caso di valori bassi nel rapporto segnale/rumore.^[8]

I segni positivi e negativi associati ai valori delle sequenze di Barker vengono usati per controllare la modulazione di fase in modalità phase-shift keying: per esempio, al segno positivo corrisponde una fase nominale della portante pari a zero, a quello negativo una fase di ±180°.

Nelle comunicazioni wireless, l'utilizzo dei codici di Barker è previsto dallo standard 802.11 per la bassa correlazione incrociata con altre sequenze che potrebbero provocare interfenze nonché per le sue proprietà spettrali. In particolare, lo standard 802.11 prevede l'impiego di un codice di Barker con $N$ =11 per le bit rate comprese tra 1 e 2 Mbit/s: il valore dell'autocorrelazione è massimo (11) solo in corrispondenza del valore zero, mentre è 0 o -1 altrove. Questo genera uno spettro più uniforme e una ricezione migliore.^[9]

I codici di Barker sono usati nelle comunicazioni digitali anche come una tecnica per individuare l'inizio di una trama dati: trasmettendo una sequenza di Barker prima di ogni trama dati, lato ricezione la rilevazione del picco di autocorrelazione coincide con l'inizio della trama stessa.^[10] Questa tecnica risulta particolarmente utile nel caso di trasmissioni soggette ad elevati livelli di rumore.^[11]^[12]

Note

^ ^a ^b (EN) Peter Borwein e Michael J. Mossinghoff, Barker sequences and flat polynomials, in James McKee e Chris Smyth (a cura di), Number Theory and Polynomials, LMS Lecture Notes, vol. 352, Cambridge University Press, 2008, pp. 71–88, DOI:10.1017/CBO9780511721274.007, ISBN 978-0-521-71467-9.
^ ^a ^b (EN) Ronald Hugh Barker, Group Synchronizing of Binary Digital Systems, in Communication Theory, Londra, Butterworth, 1953, pp. 273–287.
^ (EN) Sloane, N.J.A. (a cura di), Sequence A091704, in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.
^ (EN) Turyn e Storer, On binary sequences, in Proceedings of the AMS, vol. 12, 1961, pp. 394–399.
^ (EN) Leung, K. e and Schmidt, B., The Field Descent Method, in Design, Codes and Cryptography, vol. 36, pp. 171–188.
^ Rispettano la condizione anche le stesse sequenze con i valori a segno invertito e/o in ordine inverso, che non sono riportate per semplicità
^ (EN) Merrill I. Sklonik, Introduction to Radar Systems, 3ª ed., McGraw–Hill, 2001.
^ (EN) Hazem Kamel, Mohamed G. Shehata e Samer Emad Eldin Ali, A Hybrid Adaptive Technique for Barker Code Matched Filter Sidelobe Cancellation, 2024 International Telecommunications Conference (ITC-Egypt), Il Cairo, IEEE, 22-25 luglio 2024, DOI:10.1109/ITC-Egypt61547.2024.10620493, ISBN 979-8-3503-5140-8.
^ (EN) RF Testing of WLAN Products (PDF), su Keysight Technologies.
^ (EN) D. Diego Andres Cuji, Paul Andres Chasi, Fernando Guerrero e Fredy Rivera, Frame synchronization through Barker codes using SDRs in a real wireless link, 2016 International Conference on Electronics, Communications and Computers (CONIELECOMP), Cholula, 24-26 febbraio 2016, DOI:10.1109/CONIELECOMP.2016.7438554, ISBN 978-1-5090-0079-1.
^ (EN) Dimitris Nikolaidis, Parameterized Hardware Architecture for Frame Synchronization at all Noise Levels, 2025, DOI:10.48550/arXiv.2501.13717.
^ (EN) Vadim A. Nenashev, Aleksandr R. Bestugin, Alexey V. Rabin, Sergei V. Solenyi e Sergey A. Nenashev, Modified Nested Barker Codes for Ultra-Wideband Signal–Code Constructions, in Sensors, vol. 23, n. 23, 23 ottobre 2023, DOI:10.3390/s23239528.