Sigma-álxebra

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ chámase espazo medible.

Dado un conxunto non baleiro ${\displaystyle X}$, e ${\displaystyle P(X)}$ o seu conxunto de partes, dicimos que ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ é unha ${\displaystyle \sigma }$-álxebra en ${\displaystyle X}$ se se satisfán as seguintes condicións:^[1]

• O conxunto baleiro ${\displaystyle \emptyset }$ e o conxunto total ${\displaystyle X}$ son elementos de ${\displaystyle \Sigma }$.
• Dado un elemento ${\displaystyle E\in \Sigma }$, o seu conxunto complementario ${\displaystyle E^{c}=X\setminus E}$ tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$.
• (${\displaystyle \sigma }$-aditividade) Dado un conxunto numerable ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }$, o conxunto unión ${\displaystyle E=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$.

Dado ${\displaystyle X}$ un conxunto e ${\displaystyle \Sigma }$ unha ${\displaystyle \sigma }$-álxebra en ${\displaystyle X}$, chamamos espazo medible ao par formado por ${\displaystyle (X,\Sigma )}$.

Sexa ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ un espazo medible. Pódese demostrar que

• (Aditividade finita) Dado un conxunto finito ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}}$ de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$, o conxunto unión (finita) ${\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}}$ tamén é un elemento de ${\displaystyle \Sigma }$.
• Dado un conxunto numerable ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$, o conxunto intersección (numerable) ${\displaystyle E=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$. Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de ${\displaystyle \Sigma }$.
• Dados dous elementos ${\displaystyle E,F}$ de ${\displaystyle \Sigma }$, o conxunto ${\displaystyle E\setminus F}$ tamén pertence a ${\displaystyle \Sigma }$.

• Chamamos ${\displaystyle \sigma }$-álxebra trivial á ${\displaystyle \sigma }$-álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,X\}}$. Trátase da ${\displaystyle \sigma }$-álxebra máis pequena sobre ${\displaystyle X}$.

• A maior ${\displaystyle \sigma }$-álxebra posible sobre ${\displaystyle X}$ é o conxunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Calquera ${\displaystyle \sigma }$-álxebra ${\displaystyle \Sigma }$ sobre ${\displaystyle X}$ satisfai que ${\displaystyle \{\emptyset ,X\}\subset \Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)}$.

• Dadas dúas ${\displaystyle \sigma }$-álxebras ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ e ${\displaystyle \Sigma _{2}}$, a súa intersección ${\displaystyle \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}}$ é tamén unha ${\displaystyle \sigma }$-álxebra en ${\displaystyle X}$.

• Dado un subconxunto ${\displaystyle A\subset X}$, a menor ${\displaystyle \sigma }$-álxebra sobre ${\displaystyle X}$ que contén a ${\displaystyle A}$ é ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,A,A^{c},X\}}$.

• Dado ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$, a menor ${\displaystyle \sigma }$-álxebra sobre ${\displaystyle X}$ que contén a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ é a intersección de todas as ${\displaystyle \sigma }$-álxebras que conteñen a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Denominámola ${\displaystyle \sigma }$-álxebra xerada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

• Dado un conxunto ${\displaystyle A\subset X}$, denominamos ${\displaystyle \sigma }$-álxebra inducida a ${\displaystyle \Sigma _{A}=\{A\cap E\colon \ E\in \Sigma \}}$. Esta é unha ${\displaystyle \sigma }$-álxebra sobre o conxunto ${\displaystyle A}$.

Dicimos que unha función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$ é medible se a preimaxe dun conxunto medible en ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ é medible en ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$, isto é, se para cada ${\displaystyle X\in \Sigma _{2}}$ tense que ${\displaystyle f^{-1}(X)\in \Sigma _{1}}$.

A noción de función medible motiva a definición das seguintes ${\displaystyle \sigma }$-álxebras:

Por construción, esta é a mínima ${\displaystyle \sigma }$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ tal que a función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$ é medíbel.

Trátase da máxima ${\displaystyle \sigma }$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ tal que a función ${\displaystyle f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})}$ é medíbel.

Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.

No espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.

• Robert G. Bartle (1995). The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Castillo, F. del Florencio (1987). Análisis matemático II. Madrid: Alhambra. ISBN 8420515795. 

• Función medible
• Medida (matemáticas)

• "Algebra of sets". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Sigma Algebra from PlanetMath.