Espazo ba

En matemáticas, o espazo ba ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ dunha álxebra de conxuntos ${\displaystyle \Sigma }$ é o espazo de Banach que consiste en todas as medidas con signo finitamente aditivas e limitadas en ${\displaystyle \Sigma }$. A norma defínese como a variación, é dicir ${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$^[1]

Se Σ é unha sigma-álxebra, entón o espazo ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ defínese como o subconxunto de ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ que consiste en medidas numerabelmente aditivas.^[1] A notación ba é unha abreviatura de bounded additive (aditivo limitado) e ca é a abreviatura de countably additive (aditivo numerábel).

Se X é un espazo topolóxico e Σ é a sigma-álxebra dos conxuntos de Borel en X, entón ${\displaystyle rca(X)}$ é o subespazo de ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ que consiste en todas as medidas regulares de Borel en X. ^[1]

Os tres espazos son completos (son espazos de Banach) en relación á mesma norma definida pola variación total, e polo tanto ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ é un subconxunto pechado de ${\displaystyle ba(\Sigma )}$, e ${\displaystyle rca(X)}$ é un conxunto pechado de ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ para Σ a álxebra dos conxuntos de Borel en X. O espazo de funcións simples en ${\displaystyle \Sigma }$ é denso en ${\displaystyle ba(\Sigma )}$.

O espazo ba do conxunto de partes dos números naturais, ba (2^N), denótase a miúdo simplemente como ${\displaystyle ba}$ e é isomorfo ao espazo dual do espazo ℓ^∞.

Sexa B(Σ) o espazo de funcións Σ-medíbeis limitadas, equipadas coa norma uniforme. Entón ba (Σ) = B(Σ)* é o espazo dual continuo de B(Σ). Isto débese a Hildebrandt ^[2] e Fichtenholtz e Kantorovich ^[3].

Este é un tipo de teorema da representación de Riesz que permite representar unha medida como un funcional linear en funcións medíbeis. En particular, este isomorfismo permite definir a integral en relación a unha medida aditiva finitamente (téñase en conta que a integral de Lebesgue habitual require aditividade numerábel). Isto débese a Dunford e Schwartz ^[1] e úsase a miúdo para definir a integral en relación ás medidas vectoriais ^[4] e, especialmente, ás medidas de Radon con valores vectoriais.

A dualidade topolóxica ba (Σ) = B(Σ)* é doada de ver. Existe unha dualidade alxébrica evidente entre o espazo vectorial de todas as medidas finitamente aditivas σ en Σ e o espazo vectorial de funcións simples ( ${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$ ). É doado comprobar que a forma linear inducida por σ é continua na norma superior se σ está limitada, e o resultado dedúcese por mor de que unha forma linear no subespazo denso de funcións simples esténdese a un elemento de B(Σ)* se é continua na norma superior.

Se Σ é unha sigma-álxebra e μ é unha medida positiva sigma-aditiva en Σ ^, entón o Lp-espazo L^∞(μ) dotado da norma suprema esencial é por definición o espazo cociente de B(Σ) polo subespazo pechado de funcións μ-nulas limitadas:

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-case en todas as partes}}\}.}$

Polo tanto ^, o espazo dual de Banach L^∞(μ)* é isomorfo a

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ para calquera }}A\in \Sigma \},}$

é dicir, o espazo de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas en relación a μ ( μ-ac para abreviar).

Cando o espazo de medidas é tamén sigma-finito, entón L^∞(μ) é á súa vez dual de L¹(μ), que polo teorema de Radon-Nikodym identifícase co conxunto de todas as medidas μ-ac numerabelmente aditivas. Noutras palabras, a inclusión no bidual

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

é isomorfo á inclusión do espazo de medidas μ-ac numerabelmente aditivas limitadas dentro do espazo de todas as medidas μ-ac finitamente aditivas limitadas.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Espazo ba

• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958). Linear operators, Part I. Wiley-Interscience. 

• Espazo de Banach
• Teoría da medida