Approximation par matrices non-négatives

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire et en analyse des données, la factorisation en matrices non-négatives et l'approximation par matrices non-négatives consistent à représenter ou approcher une matrice par un produit de matrices dont les éléments sont positifs ou nuls. Ces méthodes appartiennent à la famille plus générale des techniques de factorisation matricielle et d'approximation de rang faible. Elles sont adaptées pour l'analyse de données non-négatives que l'on cherche à interpréter comme une combinaison linéaire de multiples sources elles-mêmes non-négatives. Cette propriété est désirée dans de nombreuses applications afin de pouvoir donner une interprétation à la décomposition obtenue.

Ces méthodes ont été utilisées pour la première fois en chimie analytique et en télédétection^[1] dans les années 1960.

Elles ont depuis été utilisées pour de nombreuses applications dont les systèmes de recommandation, l'analyse de documents textuels, le traitement du signal, l'astronomie.

Soit ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$. L'approximation en matrices non-négatives consiste à identifier deux matrices ${\displaystyle W\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{m\times r},H\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{r\times n}}$ (où ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ représente l'ensemble des nombres positifs) telles que

$${\displaystyle A\approx WH.}$$

On parle de factorisation lorsque ${\displaystyle A=WH}$, et d'approximation dans le cas général.

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