Algebra nombro

En matematiko, algebra nombro estas kompleksa nombro, kiu estas radiko de ne-nula unuvariabla polinomo kun racionalaj (aŭ ekvivalente, entjeraj) koeficientoj. Kompleksa nombro, kiu ne estas algebra nomiĝas transcenda nombro.

Ĉiu racionala nombro, x=b/a kie a kaj b estas entjeroj kaj a≠0, estas algebra nombro, ĉar ĝi estas radiko de polinomo ax+(-b) aŭ ekvivalente kontentigas ekvacion ax+(-b)=0.

Ĉiu gaŭsa entjero (kompleksa nombro a+bi kie ambaŭ a kaj b estas entjeroj) estas algebra nombro.

Neracionalaj nombroj povas esti aŭ ne esti algebraj. Ekzemple √2 estas neracionala nombro kaj ĝi estas algebra nombro ĉar ĝi estas radiko de x²-2.

La nombroj π kaj e ne estas algebraj nombroj.

Ĉiu konstruebla nombro (tiu kiu estas longo de rekta streko kiu povas esti konstruita per cirkelo kaj liniilo startante de streko de longo 1) estas algebra.

• Por ĉiu donita algebra nombro, estas unika polinomo kies gvida koeficiento (ĉe la plej granda potenco de variablo) estas 1 kun racionalaj koeficientoj de la plej malgranda ebla grado (la plej granda potenco de la variablo) kiu havas la nombron kiel radiko. Ĉi tiu polinomo estas nomata kiel ĝia minimuma polinomo. Se ĝia minimuma polinomo havas gradon n, do la algebra nombro estas dirita al esti de grado n. Algebra nombro de grado 1 estas racionala nombro.
• La aro de algebraj nombroj estas kalkulebla. La pruvo estas simpla. Pro tio ke la polinomoj kun entjeraj koeficientoj estas kalkuleblaj, kaj pro tio ke ĉiu ĉi tia polinomo havas finian kvanton de radikoj, la algebraj nombroj estas kalkuleblaj.
• De ĉi tie, la aro de algebraj nombroj havas lebegan mezuron nulo (kiel subaro de la kompleksaj nombroj), kio estas ke preskaŭ ĉiuj kompleksaj nombroj estas ne algebraj.
• Ĉiu algebra nombro estas komputebla kaj pro tio difinebla.

Sumo, diferenco, produto kaj kvociento de du algebraj nombroj estas denove algebraj nombroj, tiel algebraj nombroj formas kampon, iam skribata kiel ${\displaystyle \mathbb {A} }$ aŭ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$.

Ĉiu radiko de polinomo kies koeficientoj estas algebraj nombroj estas denove algebra nombro. Alivorte, kampo de algebraj nombroj estas algebre fermita kampo. Fakte, ĝi estas la plej malgranda algebre fermita kampo enhavanta racionalajn nombrojn, kaj estas pro tio la tegaĵo de la racionalaj nombroj.

Ĉiu nombro kiu povas esti ricevita de entjeroj uzante finian kvanton de adicioj, subtrahoj, multiplikoj, dividoj kaj prenoj radikoj de n-a ordo kie n estas pozitiva entjero, estas algebra. La malo estas ne vera: estas algebraj nombroj kiu ne povas esti ricevitaj per ĉi tiu maniero. Ĉiuj el ĉi tiuj nombroj estas solvaĵoj al polinomoj de grado 5 kaj pli granda. Ĉi tiu estas rezulto de galeza teorio kaj teoremo de Abelo-Ruffini. Ekzemplo de ĉi tia nombro estas la unika reela radiko de polinomo x⁵-x-1, kiu estas proksimume 1,167303978261418684256.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Algebra entjero.

Se la gvida koeficiento de la polinomo (ĉe la plej granda potenco de variablo) estas 1, ĝiaj radikoj estas nomataj algebraj entjeroj. Notu, ke la algebra entjero ne nepre estas entjero (... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Ĉi tiun difinon pravigas tio, ke por polinomo ax+b, ĝia radiko x=-b/a estas entjero precize tiam, kiam ĝi estas s estas divizoro de b. Racionalaj nombroj estas, do, algebraj entjeroj tiam kaj nur tiam, kiam ili estas entjeroj.

Algebraj entjeroj generitaj de polinomo de pli alta grado povas jam ne esti entjeroj, ekzemple radikoj de x²-2 estas √2 kaj -√2; radikoj de x²+4 estas 2i kaj -2i; ĉiu el ĉi tiuj kvar nombroj estas algebra entjero.

La sumo diferenco kaj produto de du algebraj entjeroj estas denove algebraj entjeroj, kio signifas ke algebraj entjeroj formas ringon.

• Gaŭsa entjero
• Radiko de unu