Integration-by-parts-Operator

Ein Integration-by-parts-Operator ist ein linearer Operator, der eine Formulierung der partiellen Integration ermöglicht. Der Operator ist vor allem in Räumen von unendlicher Dimension interessant und wird hauptsächlich im Malliavin-Kalkül aus der stochastischen Analysis verwendet.^[1]

Sei ${\displaystyle E}$ ein Banach-Raum, sodass ${\displaystyle E}$ und der topologische Dualraum ${\displaystyle E^{*}}$ separable Räume sind, und ${\displaystyle \mu }$ ein Borelmaß auf ${\displaystyle E}$. Sei ${\displaystyle S}$ eine fixierte Untermenge des Funktionenraums auf ${\displaystyle E}$. Mit ${\displaystyle \mathrm {D} \phi }$ bezeichnen wir die Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle \phi }$. Ein linearer Operator ${\displaystyle \operatorname {P} \colon S\to L^{2}(\mu )}$ heißt Integration-by-parts-Operator (kurz IPO) für ${\displaystyle \mu }$ falls

${\displaystyle \int _{E}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}\varphi (x)(\operatorname {P} h)(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

für jede C¹-Funktion ${\displaystyle \varphi \colon E\to \mathbb {R} }$ und jedes ${\displaystyle h\in S}$ gilt, mit dem beide Seiten existieren.

Betrachte einen abstrakten Wiener-Raum ${\displaystyle (H,E,\mu )}$ mit Gaußschem Maß ${\displaystyle \mu \colon H\to E}$. Man kann ${\displaystyle E^{*}}$ als Unterraum von ${\displaystyle E}$ unter der Inklusion

${\displaystyle E^{*}\xrightarrow {i^{*}} H^{*}\cong H\xrightarrow {i} E}$

auffassen. Sei ${\displaystyle S}$ ein Unterraum von ${\displaystyle C^{1}(E,E^{*})}$. Für ${\displaystyle h\in S}$ definiere

${\displaystyle (\operatorname {P} h)(x):=h(x)x-\operatorname {Tr} _{H}\operatorname {D} h(x).}$

Dann ist ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ein Integration-by-parts-Operator. Der Beweis folgt aus dem Divergenzsatz für abstrakte Wiener-Räume und kann in Elworthy (1974) gefunden werden.^[2]

1. ↑ Denis R. Bell: The Malliavin calculus. Dover Publications Inc., Mineola, NY 2006, ISBN 0-486-44994-7, S. 68. 
2. ↑ K. David Elworthy: Global analysis and its applications (Lectures, Internat. Sem. Course, Internat. Centre Theoret. Phys., Trieste, 1972), Vol. II. Internat. Atomic Energy Agency, Vienna 1974, Gaussian measures on Banach spaces and manifolds, S. 151–166 (englisch).