Dunkl-Operator

Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.^[1]

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

Wir betrachten ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit euklidischem Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ und Skalarproduktnorm ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Sei

• ${\displaystyle R}$ ein Wurzelsystem in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$,
• ${\displaystyle R_{+}}$ ein positives Teilsystem von ${\displaystyle R}$,
• ${\displaystyle G}$ die Spiegelungsgruppe von ${\displaystyle R}$, d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen ${\displaystyle \{\sigma _{\alpha }\mid \alpha \in R\}}$, definiert durch

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(x)=x-2{\frac {\langle \alpha ,x\rangle }{\|\alpha \|^{2}}}\alpha }$,

erzeugt wird,

• ${\displaystyle k\colon R\to \mathbb {C} }$ eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter ${\displaystyle G}$ ist, d. h. ${\displaystyle k(\sigma _{\alpha }(x))=k(x)}$. Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit ${\displaystyle K}$,
• ${\displaystyle D_{\xi }}$ die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$.

Sei nun ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$ und ${\displaystyle k\in K}$ und ${\displaystyle u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$. Der zugehörige Dunkl-Operator ${\displaystyle T_{\xi }:=T_{\xi ,k}}$ ist definiert durch^[2]

${\displaystyle T_{\xi }u(x)=D_{\xi }u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\langle \alpha ,\xi \rangle {\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.}$

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

Für ein fixes ${\displaystyle k\in K}$ kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{d}}$ und ${\displaystyle u,v\neq 0}$ gilt^[3]

${\displaystyle T_{u}T_{v}=T_{v}T_{u}.}$

Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion ${\displaystyle k\in K}$ und Standardvektoren ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{d}}$ definieren wir nun die Dunkl-Operatoren ${\displaystyle T_{i}:=T_{e_{i}}}$ definiert für ${\displaystyle u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ durch

${\displaystyle T_{i}u(x)={\frac {\partial u(x)}{\partial x_{i}}}+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\alpha _{i}{\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.}$

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

${\displaystyle \Delta _{k}:=\sum \limits _{i=1}^{d}T_{i}^{2}.}$

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess ${\displaystyle X=(X)_{t\geq 0}}$ mit dem infinitesimalen Generator^[4]

${\displaystyle L:={\frac {1}{2}}\Delta _{k}.}$

Für ${\displaystyle u\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$, eine Multiplizitätsfunktion ${\displaystyle k}$ und einen Dunkl-Prozess ${\displaystyle X}$ lautet der infinitesimale Generator explizit

${\displaystyle Lu(x)={\frac {1}{2}}\Delta u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\left[{\frac {\langle \nabla u(x),\alpha \rangle }{\langle \alpha ,x\rangle }}+{\frac {u(\sigma _{\alpha }x)-u(x)}{\langle \alpha ,x\rangle ^{2}}}\right],}$

wobei ${\displaystyle \Delta }$ den gewöhnlichen Laplace-Operator auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ bezeichnet.^[4]

• Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022. 
• Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366. 

• Léonard Gallardo, Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133. 
• Margit Rösler, Michael Voit: Markov Processes Related with Dunkl Operators. In: Advances in Applied Mathematics. Band 21, Nr. 4, 1998, S. 575–643, doi:10.1006/aama.1998.0609 (sciencedirect.com). 

1. ↑ Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 167–183, doi:10.2307/2001022. 
2. ↑ Margit Rösler: Dunkl Operators: Theory and Applications. 2002, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0210366. 
3. ↑ Charles F. Dunkl: Differential-difference operators associated to reflection groups. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 311, Nr. 1, 1989, ISSN 0002-9947, S. 171, doi:10.2307/2001022 (Theorem 1.9). 
4. ↑ ^{a b} Léonard Gallardo und Marc Yor: A chaotic representation property of the multidimensional Dunkl processes. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 34, Nr. 4, 2006, S. 1530–1549, doi:10.1214/009117906000000133.