Čebyševova funkce

Čebyševovy funkce jsou dvě navzájem příbuzné aritmetické funkce, které se v teorii čísel často používají, zejména při studiu rozložení prvočísel. Jsou pojmenovány po ruském matematikovi Pafnutiji Čebyševovi.

První Čebyševova funkce ${\displaystyle \vartheta (x)}$ je definována jako

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$,

kde ${\displaystyle p}$ jsou prvočísla menší nebo rovna ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle \log }$ značí přirozený logaritmus.

Druhá Čebyševova funkce ${\displaystyle \psi (x)}$ má několik ekvivalentních zápisů:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p}$,

kde ${\displaystyle \Lambda (n)}$ je von Mangoldtova funkce.

Druhou Čebyševovu funkci lze vyjádřit pomocí první takto:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

kde k je jediné přirozené číslo, pro které platí ${\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}}$.

Mezi druhou a první Čebyševovou funkcí existuje také přímý vztah:^[1]:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).}$

Tento nekonečný součet však ve skutečnosti obsahuje jen konečný počet nenulových členů. Důvodem je, že výraz ${\displaystyle \vartheta (x^{\frac {1}{n}})}$ je roven nule, jakmile ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}<2}$, protože funkce ${\displaystyle \vartheta (y)}$ je definována jako součet ${\displaystyle \log p}$ přes všechna prvočísla ${\displaystyle p\leq y}$, přičemž ale žádné prvočíslo není menší než ${\displaystyle 2}$.

Z toho plyne, že členy součtu mizí, jakmile

${\displaystyle x^{1/n}<2\quad \Leftrightarrow \quad n>{\frac {\log x}{\log 2}}=\log _{2}x.}$

Takže pro ${\displaystyle n>\log _{2}x}$ je hodnota ${\displaystyle \vartheta (x^{\frac {1}{n}})=0}$, a tedy i členy v součtu jsou nulové. Proto má tento součet jen přibližně ${\displaystyle \log _{2}x}$ nenulových členů.

V roce 1894 matematik Hans Carl Friedrich von Mangoldt dokázal, že Čebyševovu druhou funkci ${\displaystyle \psi (x)}$ lze předepsat explicitně pomocí součtu přes všechny netriviální nuly Riemannovy zeta funkce^[2]:

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

kde ${\displaystyle \rho }$ značí netriviální nuly Riemannovy zeta funkce, tj. komplexní čísla ${\displaystyle \rho }$ pro která platí ${\displaystyle \zeta (\rho )=0}$ a zároveň ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (\rho )<1}$.

• Riemannova funkce zeta
• Prvočíselná funkce
• Prvočíselná věta