Vektor

V matematice je vektor definován abstraktně jako prvek vektorového prostoru. Vektory se dají spolu vzájemně sčítat a dále násobit prvky komutativního algebraického tělesa, tzv. skaláry, např. reálnými čísly.

Pokud je vektorový prostor konečněrozměrný a vektory tvoří uspořádané n-tice čísel, tj. pokud se za vektorový prostor volí kartézský součin množin reálných či komplexních čísel, tj. pokud je za vektorový prostor bráno ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ či ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ pro nějaké přirozené číslo ${\displaystyle n}$, tak se jeho prvky nazývají aritmetické vektory. V každém vektorovém prostoru lze díky axiomu výběru najít bázi, která určuje souřadnice daného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud jako bázi vektorového prostoru zvolíme ortonormální kanonickou bázi, pak souřadnice vektoru vzhledem k této bázi budou shodné s jeho složkami.

Vektor představuje v matematice a fyzice veličinu, která má velikost, směr a orientaci. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí souřadnic (složek), které ovšem závisí na volbě souřadnicových os (báze). Často je graficky reprezentován jako šipka. Příkladem vektoru je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod“ nebo „Přitahován ke středu Země silou 70 newtonů“.

Vektory se obvykle značí jako orientované úsečky:

Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako a; to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti značení patří ${\displaystyle {\vec {a}}}$ nebo a. Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých složek, např. ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})}$.

Diferenciální geometrie vyjadřuje vektor v dané souřadné soustavě často pomocí operátorů parciálních derivací, tedy např. jako

${\displaystyle \mathbf {A} =a_{x}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x}}+a_{y}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}y}}+a_{z}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}z}}}$,

s výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace – pomocí řetízkového pravidla.

Kvantová fyzika používá pro zápis vektoru tzv. Diracovu symboliku.

Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá kovariance vůči změně (prostorových) souřadnic ("stejná" změna jeho souřadnic, nové se počítají podle stejného pravidla jako souřadnice polohy). Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem

${\displaystyle x_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$,

pak složky libovolného vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ se podobně transformují podle vztahu

${\displaystyle v_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}$,

kde ${\displaystyle v_{i}}$ jsou složky vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ v původní soustavě souřadnic a ${\displaystyle v_{i}^{\prime }}$ jsou složky vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ v  nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }=\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} }$, kde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je transformační matice se složkami ${\displaystyle a_{ij}}$. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením v klasické mechanice, nebo Lorentzovým transformacím ve speciální relativitě.

Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému bodu prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho velikost, směr a orientace, pak hovoříme o volném vektoru. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (tj. má počátek), pak hovoříme o vázaném vektoru. Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o vektorovém poli. Volný vektor je prvkem vektorového prostoru, kdežto vázaný vektor je prvkem afinního prostoru, tj. vektorový prostor doplněný množinou bodů, které každý vektor tzv. zaměří. Ve vektorovém prostoru vektory o stejné velikosti, směru a orientaci jsou totožné, ale v afinním prostoru se mohou lišit svým zaměřením.

V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého vektorového prostoru. Tyto prostory mohou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit o tom, že i funkce je vektor, anebo stav fyzikálního systému je vektor, např. v kvantové mechanice.

Jako pravý vektor se označuje vektorová veličina, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původní otočená nebo zrcadlená, vyjde „stejný“ vektor (jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí

${\displaystyle \mathbf {V} (-x_{i})=\mathbf {V} (x_{i}),}$

kde ${\displaystyle (-x_{i})}$ označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnou orientaci jako ${\displaystyle (x_{i})}$ .

Vektorová veličina, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, se označuje jako axiální vektor (nepravý vektor nebo pseudovektor). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí

${\displaystyle \mathbf {V} (-x_{i})=-\mathbf {V} (x_{i}).}$

Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhé vnější mocniny prostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek (n-1)-ní vnější mocniny ${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbf {V} }$ n-rozměrného vektorového prostoru V. Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace na V pak lze takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkem V) pomocí Hodgeovy duality. Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace.

Příkladem pravého vektoru je polohový vektor ${\displaystyle \mathbf {r} }$ nebo vektor rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} }$, axiálním vektorem je například vektor úhlové rychlosti ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$. Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocí vektorového součinu (je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).

Pro dva vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ je definován jejich součet jako vektor ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} }$ se složkami ${\displaystyle C_{i}=A_{i}+B_{i}}$.

Pro vektor ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a číslo ${\displaystyle k}$ je definován jejich násobek jako vektor ${\displaystyle k\mathbf {A} }$ se složkami ${\displaystyle k\cdot A_{i}}$.

Lineární kombinace dvou vektorů ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ je definována jako vektor ${\displaystyle \mathbf {C} =a\mathbf {A} +b\mathbf {B} }$ se složkami ${\displaystyle C_{i}=aA_{i}+bB_{i}}$, kde ${\displaystyle a,b}$ jsou libovolná čísla.

Součin vektorů lze definovat jako

• skalární součin
• vektorový součin
• smíšený součin

Operace na vektorech:

• divergence
• rotace
• gradient

Úhel mezi vektory lze určit ze znalosti skalárního součinu ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ a norem obou nenulových vektorů (${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}}$ resp. ${\displaystyle \|\mathbf {B} \|={\sqrt {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }}}$) pomocí vztahu:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}}$

Mějme vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} }$ a skaláry ${\displaystyle a,b}$. Pak platí komutativní zákon pro sčítání vektorů

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$

Pro sčítání dvou vektorů platí asociativní zákon, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} }$

Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy

${\displaystyle a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A} }$

Dále platí distributivní zákony

${\displaystyle (a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A} }$

${\displaystyle a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B} }$

Existuje nulový vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ splňující následující vztahy

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {0} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle a\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Ke každému vektoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ existuje opačný vektor ${\displaystyle -\mathbf {A} }$, pro nějž platí

${\displaystyle \mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle -(a\mathbf {A} )=(-a)\mathbf {A} =a(-\mathbf {A} )}$

Pokud ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {A} +\mathbf {C} }$, pak

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {B} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {B} -\mathbf {A} }$

Pro součiny vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ platí důležité vztahy, jako je např. Jacobiho identita pro dvojitý vektorový součin, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$

Tato rovnost mj. ukazuje, že vektorové násobení není asociativní.

Dále platí tzv. Lagrangeova identita

${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}$

Jejím speciálním případem je vztah

${\displaystyle {(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}^{2}={\mathbf {A} }^{2}{\mathbf {B} }^{2}-{(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{2}}$

Dalšími užívanými vztahy jsou

${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {D} )]\mathbf {C} -[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \times [\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]=(\mathbf {A} \times \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \times \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}$

Dva vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako kolineární (rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. Vektorový součin dvou kolineárních vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je nulový.

Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako komplanární. Komplanární vektory leží v jedné rovině. Smíšený součin komplanárních vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je nulový.

Sčítání vektorů ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a ${\displaystyle \mathbf {y} }$ je invariantní vůči lineárním zobrazením ${\displaystyle \mathbf {A} }$, tj. ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {y} }$.

Skalární součin dvou vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči rotacím (ale i zrcadlením), a to nejen u třírozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.

Vektorový součin dvou vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením), tj. ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=\mathbf {A} (\mathbf {v} )\times \mathbf {A} (\mathbf {w} )}$ pro libovolnou rotaci ${\displaystyle \mathbf {A} }$. To znamená, že vektorový součin je dobře definován na třírozměrném reálném vektorovém prostoru, pokud je na něm definován skalární součin a orientace prostoru. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to pseudovektor).

Smíšený součin tří vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí ${\displaystyle SL(3)}$). Znamená to, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostoru je smíšený součin tří vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to pseudoskalár).

Jednotkovým vektorem označujeme vektor e s jednotkovou normou, tzn. ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$. Jednotkový vektor ve směru nenulového vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je určen vztahem

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}\qquad }$ tj. ${\displaystyle \qquad |{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}|={\sqrt {\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}}=1}$

Nulový vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanou n-tici ${\displaystyle (0,0,\cdots ,0)}$, tzn. všechny složky vektoru jsou nulové. Norma nulového vektoru je rovna nule. Z fyzikálního hlediska nemá nulový vektor směr ani orientaci.

Tečný vektor je vektor vyskytující se na varietách, který má počátek (tj. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách.

Hermitovsky sdružený vektor k vektoru s komplexními složkami ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ je vyjádřen jako vektor s jeho komplexně sdruženými složkami ${\displaystyle (a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})}$, tj.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot (a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})^{T}={\begin{pmatrix}|a_{1}|^{2}\\|a_{2}|^{2}\\\vdots \\|a_{n}|^{2}\end{pmatrix}}}$

Hermitovské sdružení představuje aplikaci transpozice a komplexního sdružení.

• Skalár
• Tenzor
• Čtyřvektor
• Řídký vektor
• Diracova notace
• Vektorový prostor
• Vektorové pole

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektor na Wikimedia Commons