Variace (kombinatorika)

Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice vytvořená z celkového počtu n prvků, přičemž "uspořádaná" zde znamená, že při výběru záleží na pořadí jednotlivých prvků. Rozlišujeme variace s opakováním a bez opakování. Pro výpočet hodnoty je používán faktoriál.

Kombinace se od variací odlišují tím, že u nich na pořadí nezáleží.

Permutace je v podstatě zvláštní příklad variace, kdy n=k, tj. máme množinu prvků a určujeme možný počet jejich pořadí.

Variace bez opakování je k-členná skupina utvořená z daných n prvků tak, že v nich záleží na pořadí a žádný z daných prvků se v ní neopakuje.

Počet k-členných variací z n prvků: ${\displaystyle V(k,n)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ pro ${\displaystyle k\leq n}$

Příklad: dvoučlenné variace ze 3 prvků a, b, c" jsou: (ab), (ba), (ac), (ca), (bc), (cb) ${\displaystyle ={\frac {3!}{(3-2)!}}=6}$

Variace s opakováním je uspořádaná k-tice z n prvků sestavená tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Opět záleží na pořadí.

Počet k-členných variací s opakováním z n prvků: ${\displaystyle V'(k,n)=n^{k}}$ platí i pro ${\displaystyle k<n}$

Tedy například: dvoučlenná variace s opakováním ze 3 prvků a, b, c: (aa), (ab), (ac), (ba), (bb), (bc), (ca), (cb), (cc) ${\displaystyle =3^{2}=9}$

Kolik trojciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, jestliže:

a) se v čísle každá cifra může vyskytovat nejvýše jednou

${\displaystyle V(3,4)={\frac {4!}{(4-3)!}}={\frac {4!}{1!}}=4\cdot 3\cdot 2=24}$

b) se v čísle cifry můžou opakovat

${\displaystyle V'(3,4)=4^{3}=64}$

Kolik je možností pro obsazení 1., 2. a 3. místa v závodě s 20 účastníky?

${\displaystyle V(3,20)={\frac {20!}{(20-3)!}}={\frac {20!}{17!}}={\frac {20\cdot 19\cdot 18\cdot 17!}{17!}}=20\cdot 19\cdot 18=6840}$

Posádka lodi potřebuje k dorozumívání vytvořit 50 různých signálů. Budou jim k tomu stačit 4 různobarevné praporky?

• jednopraporkové signály: ${\displaystyle V(1,4)=4}$
• dvoupraporkové signály: ${\displaystyle V(2,4)={\frac {4!}{2!}}=4\cdot 3=12}$
• třípraporkové signály: ${\displaystyle V(3,4)={\frac {4!}{1!}}=4!=4\cdot 3\cdot 2=24}$
• čtyřpraporkové signály: ${\displaystyle V(4,4)=P(4)=4!=24}$

Celkem lze vytvořit: ${\displaystyle 4+12+24+24=64}$ signálů. Na vytvoření 50 signálů budou tedy 4 různobarevné praporky stačit.

Kolika způsoby můžete nastavit šestimístný číselný kód na zámku u trezoru?

${\displaystyle V'(6,10)=10^{6}=1000000}$

Šestimístný zámek trezoru umožňuje 1 milion různých kódů.

Heslo je složené z písmen anglické abecedy (26 písmen) a je dlouhé 8 znaků. Je pro zvýšení bezpečnosti (zvýšení síly hesla) lepší zachovat jeho délku a použít i čísla nebo jen prodloužit heslo?

${\displaystyle V'(8,26)=26^{8}=2\cdot 10^{11}}$

${\displaystyle V'(8,36)=36^{8}=2{,}8\cdot 10^{12}}$

${\displaystyle V'(9,26)=26^{9}=5{,}4\cdot 10^{12}}$

Pro zvýšení bezpečnosti hesla je lepší ho prodloužit už jen o jeden znak, protože počet možných variant hesla je vyšší (${\displaystyle 5{,}4\cdot 10^{12}}$) než při zachování délky a použití písmen a čísel (${\displaystyle 2{,}8\cdot 10^{12}}$). Důvodem je, že exponenciální funkce zvyšuje svůj růst rychleji se změnou exponentu než základu mocniny.

Algoritmus pro nalezení všech variací znaků (s opakováním, v jazyku Java)

    public static List<String> variaceSOpakovanim(int trida, String pouzitelneZnaky) {
        List<String> list = new ArrayList<String>((int) Math.pow(pouzitelneZnaky.length(), trida)/*(1)*/);

        if (trida == 0) {
            list.add(""); /*(2)*/
        } else {
            List<String> l = variaceSOpakovanim(trida - 1, pouzitelneZnaky);
            for (char c : pouzitelneZnaky.toCharArray()) { /*(3)*/
                for (String s : l) {
                    list.add(c + s); /*(4)*/
                }
            }
        }
        return list;
    }

1. Počet variací s opakováním je dán jako počet použitelných prvků umocněný na třídu variace.
2. Variace nulté třídy je právě jedna: prázdná množina.
3. Variace s opakováním se dá vnímat jako kartézský součin množiny použitelných prvků s množinou variací ze stejných použitelných prvků, ale s třídou o jednu menší. Z toho vyplývá použití rekurze.
4. Přidá do výstupního (vraceného) seznamu příslušný prvek, vzniklý spojením jednoho (každého) prvku s jednou (každou) variací nižší třídy.

• VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce: pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 2007 (1. vydání). ISBN 978-802-5301-913. 

• Permutace
• Kombinace