Polospojitá funkce

Přesněji funkce polospojitá shora a funkce polospojitá zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce $f$ je shora polospojitá v bodě $x$ , pokud pro body $y$ blízké bodu $x$ není $f(y)$ o moc větší než $f(x)$ . Funkce $f$ je zdola polospojitá v bodě $x$ , pokud pro body $y$ blízké bodu $x$ není $f(y)$ o moc menší než $f(x)$ .

Definice

Funkce $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ , kde $X$ je topologický prostor, je shora polospojitá v bodě $x\in X$ , pokud pro každé $\varepsilon >0$ existuje okolí $U$ bodu $x$ tak, že pro každé $y\in U$ platí $f(y)<f(x)+\varepsilon$ .

Funkce $f$ je shora polospojitá v $X$ , jestliže je shora polospojitá v každém bodě $x\in X$ . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru $\{x\in X:f(x)<\varepsilon \}$ otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že $f$ je shora polospojitá v bodě $x$ , pokud $\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$ .

Funkce $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ , kde $X$ je topologický prostor, je zdola polospojitá v bodě $x\in X$ , pokud pro každé $\varepsilon >0$ existuje okolí $U$ bodu $x$ tak, že pro každé $y\in U$ platí $f(y)>f(x)-\varepsilon$ .

Funkce $f$ je zdola polospojitá v $X$ , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě $x\in X$ . Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru $\{x\in X:f(x)>\varepsilon \}$ otevřené.

Ekvivalentně můžeme říci, že $f$ je zdola polospojitá v bodě $x$ , pokud $\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$ .

Vlastnosti

Nerovnost $\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\leq \liminf _{y\to x}f(y)$ ukazuje, že pokud je $f$ v bodě $x$ polospojitá shora i zdola, je již v bodě $x$ spojitá.
Nerovnost $\limsup _{y\to x}f(y)\geq f(x)\geq \liminf _{y\to x}f(y)$ ukazuje, že pokud je $f$ v bodě $x$ polospojitá shora i zdola, je již v bodě $x$ spojitá.
Funkce $f$ , která je shora polospojitá na kompaktním prostoru $X$ , je již nutně shora omezená na $X$ a má na $X$ maximum.
Funkce $f$ , která je zdola polospojitá na kompaktním prostoru $X$ , je již nutně zdola omezená na $X$ a má na $X$ minimum.
Protože $\{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}$ , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí ${\mathcal {F}}$ opět zdola polospojité.
Protože $\{\sup _{f\in {\mathcal {F}}}f>a\}=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\{f>a\}$ , je infimum libovolného systému shora polospojitých funkcí ${\mathcal {F}}$ opět zdola polospojité.
Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad ${\mathcal {F}}=\{\arctan(n):n\in \mathbb {N} \}$ .

Příklady

Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá.
Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá.
Norma na Banachově prostoru $X$ je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru $(X,w)$ ). Je-li dimenze $X$ nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

Související články

Spojitá funkce

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Polospojitost na Wikimedia Commons