Ortogonální funkceV matematice o dvou funkcích nějakého vektorového prostoru s definovaným skalárním součinem ve formě integrálu řekneme, že jsou na intervalu v rámci jejich definičního oboru ortogonální, pokud je jejich vzájemný skalární součin nulový, tj.:
Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně kolmé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový. Předpokládejme, že je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L2-normami . Pak posloupnost tvořená funkcemi s L2-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L2-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci. Systém ortogonálních funkcí s vahouSystém funkcí je v intervalu ortogonální s váhou , kde , pokud pro každou dvojici platí
Funkci f nazýváme normovanou s váhou , jestliže platí Systém funkcí ortogonální s váhou , kde každá funkce je normovaná s váhou , nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou . Systém ortogonálních funkcí v L2Systémy ortogonálních funkcí v prostoru našly praktické uplatnění především v kvantové mechanice. Funkce označujeme jako ortogonální v prostoru (na intervalu ), pokud platí
přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako Funkci f nazýváme normovanou v prostoru , je-li její norma rovna jedné, tzn. Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí , pak říkáme, že tento systém je ortogonální v , pokud pro každou dvojici funkcí platí
Je-li navíc každá funkce normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). V takovém případě platí
kde je Kroneckerovo delta. Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce platí, , pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením . Trigonometrické funkce Podrobnější informace naleznete v článcích Fourierova řada a Harmonická analýza.
Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce a jsou ortogonální na intervalu pokud a a jsou kladná celá čísla. Pak a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu.[1] Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady. Polynomy Podrobnější informace naleznete v článku Ortogonální polynomy.
Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů na intervalu a použijeme Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy. Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce které se vyskytují v bilineární formě: Pro Laguerrovy polynomy na je váhová funkce . Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu s váhovou funkcí nebo . Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu a používají váhové funkce nebo . Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky. Diskrétní funkceWalshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot. Racionální funkce![]() Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu . V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce. V diferenciálních rovnicíchŘešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám. OdkazyReferenceV tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal functions na anglické Wikipedii.
Literatura
Související články
Externí odkazy |