Monadický operátor

Monadický operátor je typový operátor vyššího druhu přiřazující libovolné monádě jinou monádu. Jedná se o endofunktor v kategorii endofunktorů.

Monadický operátor T je druhu ${\displaystyle (\ast \rightarrow \ast )\rightarrow \ast \rightarrow \ast }$ poskytující pro každou monádu operace ${\displaystyle \eta }$ a ${\displaystyle >\!\!\!>\!\!=}$ nad TMa a navíc speciální funkci ${\displaystyle \lambda :Ma\rightarrow TMa}$ (někdy nazývanou "lift") takovou, že platí ${\displaystyle \eta _{TM}=\lambda \eta _{M}}$ a ${\displaystyle \lambda _{B}(m>\!\!\!>\!\!=f)=(\lambda _{A}m)>\!\!\!>\!\!=(\lambda _{B}\circ f)}$. Ve funkcionálních jazycích, protože složení dvou monád obecně není monáda, se používají monadické operátory, chceme-li spojit funkčnost dvou monád do jedné. Jazyky jako Haskell nabízejí ke každé monádě také odpovídající operátor.

Lze snadno ukázat, že λ je přirozená transformace z M do TM. Pro libovolnou monádu F platí ${\displaystyle Ff=\lambda m.m\gtrdot \eta f}$. Chceme dokázat, že pro libovolný morfismus ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ platí ${\displaystyle \lambda _{B}\circ Mf=TMf\circ \lambda _{A}}$.

V prvním případě máme

${\displaystyle \lambda _{B}\circ Mf=\lambda _{B}\circ \lambda m.m\gtrdot \eta _{B}f=\lambda m.\lambda _{A}m\gtrdot \lambda _{B}\eta _{B}f}$

Ve druhém pak přímo

${\displaystyle TMf\circ \lambda _{A}=\lambda m.\lambda _{A}m\gtrdot \lambda _{B}\eta _{B}f}$

Uvedený diagram tedy komutuje, pročež je λ přirozenou transformací.