Descartesův list Descartesův list je kubika - algebraická křivka třetího stupně, která má v kartézské soustavě souřadnic rovnici:
x
3
+
y
3
−
3
a
x
y
=
0
{\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}
Parametr
3
a
{\displaystyle 3a}
Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s uzlem - dvojitým bodem v počátku a připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.
Její osou symetrie je přímka o rovnici:
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Bod A se nazývá vrchol , má souřadnice
(
3
a
2
,
3
a
2
)
{\displaystyle \left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)}
Její asymptota má rovnici
x
+
y
+
a
=
0
{\displaystyle x+y+a=0}
Obsah vnitřní oblasti listu (mezi oblouky
A
C
O
{\displaystyle ACO}
A
B
O
{\displaystyle ABO}
S
1
=
3
2
a
2
{\displaystyle S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}}
Obsah plochy mezi asymptotou a křivkou se rovná obsahu vnitřku smyčky
S
2
=
S
1
=
3
2
a
2
{\displaystyle \textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}}
Historie
Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartem v roce 1638 , ale vytvořil smyčku pouze v prvním kvadrantu, kde
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena Ch. Huygensem v roce 1692 .
Rovnice
x
3
+
y
3
−
3
a
x
y
=
0
{\displaystyle \textstyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}
ρ
=
3
a
cos
φ
sin
φ
cos
3
φ
+
sin
3
φ
{\displaystyle \rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}}
Parametrická rovnice v kartézském systému:
{
x
=
3
a
t
1
+
t
3
y
=
3
a
t
2
1
+
t
3
{\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}}
t
=
tan
φ
{\displaystyle t=\operatorname {tan} \varphi }
Otočená křivka Descartesova listu Často se znázorňuje o
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
y
=
±
x
l
+
x
l
−
3
x
{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}}
l
=
3
a
2
{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}
x
=
l
p
2
−
1
3
p
2
+
1
,
y
=
l
p
(
p
2
−
1
)
3
p
2
+
1
{\displaystyle x=l{\frac {p^{2}-1}{3p^{2}+1}},\ y=l{\frac {p(p^{2}-1)}{3p^{2}+1}}}
V polárních souřadnicích:
ρ
=
l
(
sin
2
φ
−
cos
2
φ
)
cos
φ
(
cos
2
φ
+
3
sin
2
φ
)
{\displaystyle \rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}}
