On shell i off shell

En física, particularment en la teoria quàntica de camps, les configuracions d'un sistema físic que satisfan les equacions clàssiques de moviment s'anomenen a la capa de massa (en la capa); mentre que els que no ho fan es diuen fora de la closca de massa (off shell).^[1]

En la teoria quàntica de camps, les partícules virtuals s'anomenen fora de closca perquè no compleixen la relació energia-moment ; Les partícules d'intercanvi real sí que compleixen aquesta relació i s'anomenen a la capa (massa).^[2] En la mecànica clàssica, per exemple, en la formulació de l'acció, les solucions extremes del principi variacional es troben a la capa i les equacions d'Euler-Lagrange donen les equacions a la capa. El teorema de Noether sobre les simetries diferenciables de l'acció física i les lleis de conservació és un altre teorema de la capa.

Mass shell és un sinònim d'hiperboloide de massa, és a dir, l'hiperboloide en energia – espai de moment que descriu les solucions de l'equació:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

la fórmula d'equivalència massa-energia que dóna l'energia ${\displaystyle E}$ pel que fa a l'impuls ${\displaystyle {\vec {p}}}$ i la massa restant ${\displaystyle m_{0}}$ d'una partícula. L'equació per a la capa de massa també s'escriu sovint en termes de quatre moments; en notació d'Einstein amb signatura mètrica (+,−,−,−) i unitats on la velocitat de la llum ${\displaystyle c=1}$, com ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$. A la literatura també es pot trobar ${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$ si la signatura mètrica utilitzada és (−,+,+,+).

El quatre moments d'una partícula virtual intercanviada ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle q_{\mu }}$, amb massa ${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$. El quatre impuls ${\displaystyle q_{\mu }}$ de la partícula virtual és la diferència entre els quatre moments de les partícules entrants i sortints.

En general, es permet que les partícules virtuals corresponents als propagadors interns d'un diagrama de Feynman estiguin fora de la closca, però l'amplitud del procés disminuirà depenent de la distància que es trobin.^[3] Això és perquè el ${\displaystyle q^{2}}$ -La dependència del propagador ve determinada pels quatre moments de les partícules entrants i sortints. El propagador normalment té singularitats a la capa de massa.

Quan es parla del propagador, valors negatius per ${\displaystyle E}$ que satisfan l'equació es pensen que estan a la capa, encara que la teoria clàssica no permet valors negatius per a l'energia d'una partícula. Això es deu al fet que el propagador incorpora en una expressió els casos en què la partícula porta energia en una direcció, i en què la seva antipartícula porta energia en l'altra direcció; negatiu i positiu a la carcassa ${\displaystyle E}$ llavors simplement representen fluxos oposats d'energia positiva.^[4]

Un exemple ve de considerar un camp escalar a l'espai de Minkowski D -dimensional. Considereu una densitat lagrangiana donada per ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$. L'acció

${\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$

L'equació d'Euler-Lagrange per a aquesta acció es pot trobar variant el camp i la seva derivada i posant la variació a zero, i és:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}$

Ara, considerem una traducció espai-temps infinitesimal ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$. La densitat lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ és un escalar, i així es transformarà infinitesimament com ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$ sota la transformació infinitesimal. D'altra banda, per l'expansió de Taylor, tenim en general

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}$

Substituint per ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$ i assenyalant que ${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )}$ (ja que les variacions són independents en cada punt de l'espai-temps):

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Ja que això ha de ser vàlid per a les traduccions independents ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...}$, podem "dividir" per ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ i escriu:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Aquest és un exemple d'una equació que no té shell, ja que és cert per a qualsevol configuració de camps independentment de si respecta les equacions de moviment (en aquest cas, l'equació d'Euler-Lagrange donada més amunt). Tanmateix, podem derivar una equació on shell simplement substituint l'equació d'Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }$

Podem escriure això com:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

I si definim la quantitat entre parèntesis com ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$, tenim:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Aquest és un exemple del teorema de Noether. Aquí, la quantitat conservada és el tensor esforç-energia, que només es conserva a la capa, és a dir, si es compleixen les equacions del moviment.